Kõrgem matemaatika I EKSAM

Ratsionaalarvud

Ratsionaalarvudeks nimetatakse arve x, mis on esitatavad kujul x = p/q , kus p ∈ Z ja q ∈ N. Kõigi ratsionaalarvude hulga tähistame sümboliga Q.

Irratsionaalarvud

Arve, mis on esitatavad lõpmatute mitteperioodiliste kümnendmurdudena, nimetatakse irratsionaalarvudeks. Tähistatakse sümboliga I.

Reaalarvu absoluutväärtus

Absoluutväärtuse tähtsamad omadused

Newtoni binoomvalem

Ülalt tõkestatud hulk

Olgu X ⊂ R. Öeldakse, et hulk X on ülalt tõkestatud, kui leidub arv M ∈ R selliselt, et x ≤ M iga x ∈ X korral; arvu M nimetatakse sel juhul hulga X ülemiseks tõkkeks

Alt tõkestatud hulk

Olgu X ⊂ R. Öeldakse, et hulk X on alt tõkestatud, kui leidub arv m ∈ R selliselt, et x ≥ m iga x ∈ X korral; arvu m nimetatakse sel juhul hulga X alumiseks tõkkeks.

Tõkestatud hulk

Olgu X ⊂ R. Öeldakse, et hulk X on tõkestatud, kui ta on nii ülalt kui ka alt tõkestatud, s.t. leiduvad arvud m, M ∈ R selliselt, et m ≤ x ≤ M iga x ∈ X korral.

Piisav ja tarvilik tingimus hulga tõkestatuseks

Hulk X ⊂ R on tõkestatud parajasti siis, kui leidub arv L ∈ R selliselt, et |x| ≤ L iga x ∈ X korral.

Hulga ülemine raja

Olgu hulk X ⊂ R ülalt tõkestatud. Hulga X vähimat ülemist tõket nimetatakse hulga X ülemiseks rajaks ja tähistatakse sümboliga sup X

Hulga alumine raja

Olgu hulk X ⊂ R alt tõkestatud. Hulga X suurimat alumist tõket nimetatakse hulga X alumiseks rajaks ja tähistatakse sümboliga inf X

Pidevuse aksioom

(a) Igal mittetühjal ülalt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas ülemine raja. (b) Igal mittetühjal alt tõkestatud reaalarvude hulgal on olemas alumine raja.

Piisav ja tarvilik tingimus selleks, et arv M oleks hulga ülemiseks rajaks.

Olgu X ⊂ R ning olgu M ∈ R. Arv M on hulga X ülemine raja parajasti siis, kui kehtivad järgmised kaks tingimust: 1◦ x ≤ M iga x ∈ X korral; 2◦ mis tahes reaalarvu ε > 0 korral leidub xε ∈ X selliselt, et xε > M − ε.

Piisav ja tarvilik tingimus selleks, et arv M oleks hulga alumiseks rajaks

Olgu X ⊂ R ning olgu m ∈ R. Arv m on hulga X alumine raja parajasti siis, kui kehtivad järgmised kaks tingimust: 1◦ x ≥ m iga x ∈ X korral; 2◦ mis tahes reaalarvu ε > 0 korral leidub xε ∈ X selliselt, et xε < m + ε.

Hulga suurim element

Olgu X ⊂ R. Kui element u ∈ X on selline, et x ≤ u iga x ∈ X korral, siis elementi u nimetatakse hulga X suurimaks elemendiks ja tähistatakse sümboliga max X

Hulga vähim element

Olgu X ⊂ R. Kui element v ∈ X on selline, et x ≥ v iga x ∈ X korral, siis elementi v nimetatakse hulga X vähimaks elemendiks ja tähistatakse sümboliga min X

Suurima ja vähima elemendi ühesus

Mis tahes reaalarvude hulgal saab olla ülimalt üks suurim element ja ülimalt üks vähim element.

Ülemise ja alumise raja ühesus

(a) Ülalt tõkestatud mittetühjal reaalarvude hulgal on täpselt üks ülemine raja. (b) Alt tõkestatud mittetühjal reaalarvude hulgal on täpselt üks alumine raja.

Hulga suurima elemendi ja ülemise raja vaheline seos

Kui mingis reaalarvude hulgas leidub suurim element, siis see suurim element on selle hulga ülemine raja.

Hulga vähima elemendi ja alumise raja vaheline seos

Kui mingis reaalarvude hulgas leidub vähim element, siis see vähim element on selle hulga alumine raja.

Hulga αX ülemine raja juhul α ⩾ 0

Olgu X ülalt tõkestatud reaalarvude hulga mittetühi alamhulk. Kui α ≥ 0, siis hulk αX on ülalt tõkestatud, kusjuures sup αX = α sup X.

Hulga αX alumine raja juhul α ⩽ 0

Olgu X ülalt tõkestatud reaalarvude hulga mittetühi alamhulk. Kui α ≤ 0, siis hulk αX on alt tõkestatud, kusjuures inf αX = α sup X.

Hulga αX alumine raja juhul α ⩾ 0

Olgu X alt tõkestatud reaalarvude hulga mittetühi alamhulk. Kui α ≥ 0, siis hulk αX on alt tõkestatud, kusjuures inf αX = α inf X

Hulga αX ülemine raja juhul α ⩽ 0

Olgu X alt tõkestatud reaalarvude hulga mittetühi alamhulk. Kui α ≤ 0, siis hulk αX on ülalt tõkestatud, kusjuures sup αX = α inf X

Kahe hulga summa ülemine raja

Olgu X ja Y ülalt tõkestatud reaalarvude hulga mittetühjad alamhulgad, siis hulk X + Y on ülalt tõkestatud, kusjuures sup(X + Y ) = sup X + sup Y

Kahe hulga summa alumine raja

Olgu X ja Y alt tõkestatud reaalarvude hulga mittetühjad alamhulgad, siis hulk X + Y on alt tõkestatud, kusjuures inf(X + Y ) = inf X + inf Y

Kahe hulga vahe ülemine raja

Olgu X ja Y reaalarvude hulga R mittetühjad alamhulgad. Olgu hulk X ülalt tõkestatud ja hulk Y alt tõkestatud. Siis hulk X − Y on ülalt tõkestatud, kusjuures sup(X − Y ) = sup X − inf Y.

Kahe hulga vahe alumine raja

Olgu X ja Y reaalarvude hulga R mittetühjad alamhulgad. Olgu hulk X alt tõkestatud ja hulk Y ülalt tõkestatud. Siis hulk X − Y on alt tõkestatud, kusjuures inf(X − Y ) = inf X − sup Y.

sup X ja inf Y vaheline seos, kui iga x ∈ X, y ∈ Y korral x ⩽ y

Olgu X ja Y reaalarvude hulga R mittetühjad alamhulgad. Kehtigu mis tahes x ∈ X ja y ∈ Y korral võrratus x ≤ y, siis hulk X on ülalt tõkestatud ja hulk Y on alt tõkestatud, kusjuures sup X ≤ inf Y

Arvjada

Kui igale naturaalarvule n on seatud vastavusse kindel reaalarv xn, siis öeldakse, et on antud arvjada (ehk lihtsalt jada)

Ülalt tõkestatud jada

Öeldakse, et arvjada (xn) on ülalt tõkestatud, kui tema liikmete hulk on ülalt tõkestatud, s.t. leidub arv M ∈ R nii, et xn ≤ M iga n ∈ N korral

Alt tõkestatud jada

Öeldakse, et arvjada (xn) on alt tõkestatud, kui tema liikmete hulk on alt tõkestatud, s.t. leidub arv m ∈ R nii, et xn ≥ m iga n ∈ N korral.

Tõkestatud jada

Öeldakse, et arvjada (xn) on tõkestatud, kui tema liikmete hulk on tõkestatud, s.t. leiduvad arvud M, m ∈ R nii, et m ≤ xn ≤ M iga n ∈ N korral.

Jada piirväärtus

Öeldakse, et arv a ∈ R on jada (xn) piirväärtus ja kirjutatakse lim n→∞ xn = a kui iga reaalarvu ε > 0 korral leidub indeks N ∈ N selliselt, et n ∈ N, n ≥ N =⇒ |xn − a| < ε.

Arvu ε-ümbrus

Olgu a ∈ R ning olgu ε ∈ R, ε > 0. Vahemikku (a − ε, a + ε) nimetatakse arvu a (või punkti a) ε-ümbruseks

Koonduv jada

Öeldakse, et arvjada (xn) on koonduv, kui tal on olemas piirväärtus a ∈ R. Sel juhul öeldakse ka, et jada (xn) koondub arvuks a.

Hajuv jada

Öeldakse, et arvjada on hajuv, kui ta pole koonduv.

Koonduva jada piirväärtuse ühesus

Koonduva jada piirväärtus on üheselt määratud.

Koonduva jada tõkestatus

Koonduv jada on tõkestatud.

Hääbuv jada

Öeldakse, et arvjada (xn) on hääbuv (ehk lõpmata väike), kui lim xn = 0

Tõkestatud ja hääbuva jada korrutise piirväärtus

Tõkestatud jada ja hääbuva jada korrutis on hääbuv jada.

Koonduvate jadade omadused, mis on seotud aritmeetiliste tehetega

Jada piirväärtuse monotoonsus

Jada (xn) piirväärtus juhul kui mingist indeksist xn ⩽ b (xn ⩾ b)

Jada piirväärtuse sändvitš-teoreem

Jadade ( n√a) (a > 0) ja ( n√n) piirväärtus

Jada (an) piirväärtus

Jada ((1 + 1/n) astmes n) piirväärtus